Goniometrie

Goniometrie is het gedeelte van de wiskunde wat zich alleen maar bezig houdt met hoeken. Bij goniometrie meet men hoe groot deze hoeken zijn, met niets anders dan een rekenmachine! Bij goniometrie wordt veel gebruik gemaakt van driehoeken, aangezien deze nodig zijn bij het uitrekenen van een hoek. Goniometrie is vooral bekend bij deze meeste mensen door de woorden tangens, sinus en cosinus (meer hierover onder Tangens, sinus en cosinus).

Het woord goniometrie komt van de Griekse woorden gonia (hoek) en metrein (meten).

Basiskennis

Hieronder staat de basiskennis die je nodig hebt voor goniometrie. Heb je deze al op school (tijdens wiskunde) gehad, dan kun je deze overslaan.

Wat is een hoek? En een zijde?

De verschillende soorten hoeken. Hoek 1 is een scherpe hoek, hoek 2 is een stompe hoek, hoek 3 is een rechte hoek en hoek 4 is een gestrekte hoek.

Zoals je weet heeft elke kamer in je huis hoeken. Een hoek in de wiskunde is dan ook precies hetzelfde, maar dan getekend. Stel je tekent een vierkant op velletje papier, dan zie je dat de vierkant vier hoeken heeft. Verschillende vormen hebben hoeken, zoals de driehoek en de trapezium. Ook voorwerpen uit het dagelijks leven hebben hoeken, zoals een de punt van een potlood of de hoek van een straat. Elke hoek heeft een andere grootte. Zo heeft kan een driehoek kleinere hoeken hebben, dan een vierkant. Of juist grotere hoeken. Om te kijken hoe groot een hoek precies is, gebruikt men in de wiskunde een koershoekmeter, een gradenboog of een geodriehoek. Zo'n koershoekmeter, gradenboog of geodriehoek werkt precies hetzelfde als een liniaal, waarmee je afstanden of lengtes meet. Op een koershoekmeter, gradenhoek en geodriehoek staat een (half) cirkeltje met daarop allerlei getallen. Dit heten graden (°). Hoeken meet je dus in graden. Een hoek is altijd tussen de 0° en 360°. Een hoek van 360° noemen we een cirkel of een rondje. Omdat niet iedereen een koershoekmeter, gradenboog of geodriehoek (altijd) bij zich heeft, begonnen mensen hoeken namen te geven. Zo heb je een:

• Scherpe hoek; dit is een hoek tussen de 0° en 90°. Een scherpe hoek heet zo omdat je je moet inbeelden, dat je je vingers eraan kunt snijden.
• Stompe hoek; dit is een hoek tussen de 90° en 180°. Een stompe hoek heet zo omdat je je moet inbeelden, dat het niet zo erg is als je er tegen aanloopt, want het doet nauwelijks pijn.
• Gestrekte hoek; dit is een hoek van precies 180°, oftewel een gewoon lijntje.
• Rechte hoek; dit is een hoek van precies 90°. Je kunt een rechte hoek altijd op een bouwtekening of wiskunde-opdracht aan het feit dat het er altijd een soort van vierkantje is staat.

Als er een hoek is getekend, bestaat dit ui twee lijnen die op elkaar aansluiten. Op het punt dat ze elkaar raken stopt het. Dit punt is de hoek. Hoe je de hoek meet ligt eraan wat er staat. In een hoek staat altijd een soort van krom lijntje. Dit kromme lijntje raak allebei de de rechte lijnen. Bij dit kromme lijntje staat vaak hoeveel graden de hoek is, bijvoorbeeld 58°. Dan weet je dat het punt waar het kromme lijntje begint tot het punt waar het kromme lijntje eindigt 58° is. Dit is om verwarring te voorkomen.

Bij een rechte hoek wordt dit kromme lijntje vervangen door weer twee rechte kleinere rechte lijntjes, die samen met de andere twee lijnen een vierkant vormen. Zo kun je in één keer zien dat die hoek, een rechte hoek is van 90°. Omdat een rechte hoek altijd 90° is, staat het aantal graden er niet bij. Bij goniometrie heb je altijd een rechte hoek nodig.

Wat is een driehoek?

Verschillende soorten driehoeken. Driehoek 1 is een gelijkzijdige driehoek, driehoek 2 is een rechte driehoek en driehoek 3 is een gelijkbenige driehoek.

Misschien weet je al wat een driehoek is? Een driehoek is een figuur of een vorm. Zoals je weet heeft een driehoek, zoals de naam al zegt, drie hoeken. De meeste mensen noemen een dan ook een figuur met drie hoeken een driehoek. Toch zijn er een hoop verschillende driehoeken, maar dat betekend niet dat wat die mensen allemaal zeggen fout is. Driehoeken zijn er dus in een hoop verschillende maten en vormen. Hieronder staan een paar soorten driehoeken:

• Gelijkzijdige driehoek, bij een gelijkzijdige driehoek hebben alle zijden dezelfde lengte en alle hoeken dezelfde grootte. Vaak wordt dit duidelijk gemaakt door in elke hoek een punt te zetten (wat dezelfde grootte betekend) en door elke zijde een klein streepje te zetten (wat dezelfde lengte betekend).
• Gelijkbenige driehoek, bij een gelijkbenige driehoek hebben twee zijden dezelfde lengte en twee hoeken dezelfde grootte. Vaak wordt dit duidelijk gemaakt door in elke hoek een punt te zetten (wat dezelfde grootte betekend) en door elke zijde een klein streepje te zetten (wat dezelfde lengte betekend).
• Rechte driehoek, bij een rechte driehoek is er één hoek 90°. Een hoek van 90° noem je een rechte hoek, dus vandaar de naam.

Bij goniometrie gebruik je altijd een driehoek met een rechte hoek erin. Als de driehoek geen rechte hoek heeft, kun je de grootte van de andere hoeken (niet meteen) uitrekenen. Dan moet je een koershoekmeter, gradenboog of geodriehoek gebruiken en heel precies kijken.

Hoe meet je een hoek normaal gesproken?

Een hoek meet je normaal gesproken met een speciaal meetinstrument. Hiervoor zijn drie verschillende opties:

• Een koershoekmeter; dit instrument bestaat uit een grote en een kleine cirkel die in het midden vast aan elkaar zitten. De cirkels zijn vaak gemaakt van plastic of een andere doorzichtige kunststof. Op de grote cirkel staan de graden 1 tot en met 360. Bij de 360° staat een streep. Dit is de begin streep. Deze streep leg je precies over een van de twee lijnen waar de hoek uit is gevormd. Op het kleine cirkeltje staat ook een lijn. Deze kun je bewegen naar de andere lijn waar de hoek uit is gevormd. Let wel op dat je deze lijn over het "kromme lijntje" beweegt (Zie Wat is een hoek?)
• Een gradenboog; dit instrument bestaat uit een halve cirkel met daarop de graden 1 tot en met 180. Een gradenboog is ook doorzichtig. Er is geen beweegbare lijn op het instrument, dus men moet dit doen in gedachte. Het meten werkt precies hetzelfde als bij de koershoekmeter.
• Een geodriehoek; dit instrument bestaat een liniaal en een gradenboog. Bij hoeken gebruik natuur de gradenboog van de geodriehoek. Dit ziet er ongeveer hetzelfde uit als de gradenboog en het meten werkt hetzelfde als bij de koershoekmeter.

Bij goniometrie gebruik je deze instrumenten dus niet. Je gebruikt enkel een rekenmachine. Je kunt alleen goniometrie toepassen als er bij minstens 1 hoek een gradenhoeveelheid staat en bij een zijde een lengte of bij twee zijden een lengte. Anders kun je goniometrie (bijna) niet toepassen, hoewel er wel nog wat trucjes voor zijn.

Basis van Goniometrie

Wat heb je nodig?

Als eerste heb je voor goniometrie een rekenmachine nodig met de knopjes cos, sin en tan. Daarnaast moet je ook weten waar het de knopjes -cos, -tan en -sin zitten. Vaak kun je deze vinden door op schift en daarna op de gewenste te drukken. Stel je wilt -cos hebben, dan druk op schift en daarna op cos. Pen en papier zijn natuurlijk vanzelfsprekend.

Hoe ga je te werk?

Kun je bij de volgende driehoeken wel of geen goniometrie toepassen? Het antwoord is bij driehoek 1 en 3 wel en bij de rest niet.

Als eerste kijk je naar de som. Hierbij stel je jezelf twee vragen:

• Bevat de driehoek een rechte hoek?
• Staat er bij minstens 1 hoek de grootte en bij 1 zijde de lengte? Of staan er bij twee zijdes de lengte?

Als je op deze twee vragen ja kan antwoorden, kun goniometrie toepassen. Kijk ook goed wat ze in de som vragen. Vragen ze de lengte van een zijde of juist de grootte van een hoek?

Vervolgens ga je kijken of je tangens, sinus of cosinus kan toepassen, wat staat in het volgende stukje.

Het berekenen van een hoek

Tangens, sinus en cosinus

Bij goniometrie gebruik je drie begrippen. Deze drie begrippen hebben alle drie een bepaalde functie. Als eerste kijk je naar de hoek die wordt gevraagd of die geven is. Daarna kijk je naar zijde(s) die geven is/zijn. Ligt deze zijde aan de hoek van 90° vast of aan de hoek waar je net naar hebt gekeken? Een rechte driehoek bestaat namelijk uit drie verschillende soorten zijden:

• De schuine of lange zijde: deze ligt niet aan de rechte hoek vast.
• De aanliggende zijde: deze ligt zowel aan de rechte hoek als aan de hoek waar je als eerste naar kijkt vast.
• De overstaande zijde: deze ligt alleen aan de rechte hoek vast.

Met deze drie zijden zijn er een soort van een sommetjes ontstaan. Die drie sommetje zijn:

• Tangens = Overstaande zijde : Aanliggende zijde
• Sinus = Overstaande zijde : Schuine zijde
• Cosinus = Aanliggende zijde : Schuine zijde

De vetgedrukte letters vormen samen ezelsbruggetjes, waardoor de sommetjes beter te onthouden zijn.

Hoe bereken je een hoek?

In het volgende kopje wordt alles stap voor stap uitgelegd. Je kunt zelf meedenken wat het goede antwoord is, als je dit wilt. Hoe? Elke keer wordt er een vraag gesteld. Deze staan schuingedrukt. Na elke vraag stop je even en probeert zelf een antwoord op de vraag te vinden. Als je een antwoord hebt, lees je verder en kun je controleren of je het goede antwoord in gedachte had.

Deze afbeelding wordt als voorbeeld gebruikt voor het volgende stukje uitleg.

Een hoek kun je berekenen als er twee zijdes zijn weergeven. Als eerste kijk je natuurlijk of er rechte hoek is en of je sinus, tangens of cosinus moet gebruiken. Als je dat weet kijk je naar welk hoek er gevraagd wordt.

We nemen even de afbeelding links. In de afbeelding zie je dat bij hoek C een ? staat, dit betekend dat die hoek gevraagd wordt. Bij twee zijdes staan getallen, welke zijdes zijn dit? De overstaande, schuine of aanliggende zijde?

Natuurlijk zijn het de overstaande en aanliggende zijde. Hoort dit bij tangens, sinus of cosinus?

Het hoort bij tangens. Je gebruikt bij deze opdracht dus tangens. Vervolgens maak je er een som van: Tan hoek A = 3,5 : 5,6. Vervolgens typ je in op je rekenmachine tan-1 (3,5:5,6) =.... Wat was je antwoord?

Het goede antwoord is 32,4711... Dit rond je af op een heel getal, dus in dit geval 32. Zet hierachter het gradentekentje (°).

Hoe bereken je een zijde?

In het volgende kopje wordt alles stap voor stap uitgelegd. Je kunt zelf meedenken wat het goede antwoord is, als je dit wilt. Hoe? Elke keer wordt er een vraag gesteld. Deze staan schuingedrukt. Na elke vraag stop je even en probeert zelf een antwoord op de vraag te vinden. Als je een antwoord hebt, lees je verder en kun je controleren of je het goede antwoord in gedachte had.

Deze afbeelding dient als voorbeeld voor het tekstje hiernaast.

Een zijde kun je berekenen met goniometrie. Hiervoor moeten er een hoek en een andere zijde gegeven zijn. Als eerste ga je kijken of je tangens, sinus of cosinus kan gebruiken. Je kunt bij elk van dit soort sommen, moet één van deze mogelijkheden gebruiken.

We nemen de afbeelding die links staat. In deze afbeelding zie je dat hoek A staat weer geven en de zijde AC (tussen hoek A en C). Je ziet dat zijde AC een schuine zijde is. Je hebt dus een mogelijkheid nodig, waar een schuine zijde in zit. In dit geval moet je sinus gebruiken, want alleen bij de overstaande zijde staat wat aangegeven.

Dan gebruik je een sommetje: sin 40° = ? : 5. Dan ga je het vraagteken uitrekenen. Als in het sommetje het vraagteken voor het deelteken staat, moet je bij het uitrekenen van het vraagteken gedeeld door gebruiken. Staat het vraagteken achter het deelteken, dan gebruik je een keerteken.

Nu ga je een tweede sommetje maken, waarin je het vraagteken gaat uitrekenen. Je weet of je keer of gedeeld door gaat gebruiken. In dit geval is het gedeeld door. Dit sommetje gaat zo: ? = sin 40 : 5 = 3.213.... cm.