Absolute waarde

Uit Wikikids
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is de absolute waarde of modulus de waarde van een getal als het teken buiten beschouwing blijft. Dus als het getal positief is: dit getal zelf; als het negatief is, het positieve getal. Noemen we dit getal a, dan schrijven we |a|, waarbij a is omgeven door zogeheten modulusstreepjes. Door deze streepjes wordt a dus ontdaan van + of – tekens:

|3| = 3; |-3| = 3; |√2 – 5| = |-(-√2 + 5)| = 5 - √2 enzovoort. 

De definitie luidt: |a| = a als a ≥ 0 en |a| = - a als a < 0. Of korter: |a| = √a².

Op school kun je er allerlei vraagstukken over tegenkomen, vaak in combinatie met vergelijkingen en ongelijkheden. Een voorbeeld. Los op:

|x| = |2x – 1|.

1ste oplossing. Door te kwadrateren verdwijnen de modulusstreepjes: (|a|) = (√a²}²:

x² = 4x² - 4x + 1; 3x² - 4x + 1 = 0; (x – 1)(3x – 1) = 0; x1 = 1; x2 = 1/3.

Vullen we de oplossingen in de oorspronkelijke vergelijking in om na te gaan of ze voldoen:

1 = 2 – 1; 1/3 = |- 1/3| = 1/3, in orde.

2de oplossing:

|x| = |2x – 1|.

Stel x = a en 2x – 1 = b, dan krijgen we

|a| = |b|; a²= b²; a² – b² = (a - b)(a + b) = 0; x – 2x + 1 = 0 met x = 1 en 3x = 1 met x = 1/3.

3de oplossing:

|x| = x als x ≥ 0, x = - x als x < 0.
|2x – 1| = 2x – 1 als 2x – 1 ≥ 0, dus als x ≥ ½ en |2x – 1| = - 2x + 1 als 2x – 1 < 0, dus als x < ½.

Er zijn dus drie aansluitende gebieden, die onderzocht moeten worden: x < 0, 0 ≤ x < ½ en x ≥ ½.

x < 0. Dan is |x| = - x en |2x – 1|  - 2x + 1, dus - x = - 2x + 1 met x = 1.

Maar deze voldoet niet aan x < 0.

0 ≤ x < ½. Hier is |x| x en |2x – 1|  - 2x + 1, of x = - 2x + 1 met x = 1/3. Deze voldoet.
x ≥ ½. Nu is |x| = x en |2x – 1| =  2x – 1, zodat x = 2x – 1, - x = - 1, x = 1. We vinden weer x1 = 1 en x2 = 1/3. 

Nog een voorbeeld. Los x op uit:

 |½x² - 2x – 6| < ½x + 6

Oplossing:

|x² - 4x – 12| < x + 12
(x² - 4x – 12}² < (x + 12)²
(x² - 4x – 12}² -  (x + 12)² < 0
(x² - 4x – 12 + x + 12)( x² - 4x – 12 – x – 12) < 0
(x² - 3x)( x² - 5x – 24) < 0
x(x – 3)(x – 8)(x + 3) < 0

Bepaal de nulpunten door elke factor gelijk aan 0 te stellen, zet die in de juiste volgorde uit op een getallenlijn en bepaal de waarde van het product voor één interval. De waarde verandert steeds bij het passeren van een nulpunt:

     pos.  -3    neg.    0    pos.    3     neg.     8      pos.
------------|------------|------------|--------------|--------------- 

Het product is dus negatief tussen -3 en 0 en tussen 3 en 8. Oftewel – 3 < x < 0 en 3 < x < 8.

Nog een voorbeeld. Los x op uit:

|x + 1| + |x – 2| > |x + 3|.

Oplossing:

|x + 1| = x + 1 als x ≥ - 1; 
|x – 2| = x – 2 als x ≥ 2;
|x + 3| = x + 3 als x ≥ - 3.
|x + 1| = - x - 1 als x < - 1; 
|x – 2| =  - x + 2 als x < 2;
|x + 3| = - x - 3 als x < - 3.

We onderscheiden dus de gebieden x < - 3, - 3 ≤ x < - 1, -1 ≤ x < 2 en x ≥ 2. Als x < -3:

- x – 1 – x + 2 > - x – 3, x < 4. Samen met de eis dus x < -3.

Als -3 ≤ x < - 1:

-x – 1 – x + 2 > x + 3; x < - 2/3  Samen met de eis dus  -3 ≤ x < -1.

Als -1 ≤ x < 2:

x + 1 – x + 2 > x + 3 met x < 0. Samen met de eis: - 1 ≤ x < 0.

Als x ≥ 2:

x + 1 + x – 2 > x + 3, x > 4. Gezien de eis blijft dat zo. 

De vier antwoorden tezamen:

x < 0 en x > 4.
Afkomstig van Wikikids , de interactieve Nederlandstalige Internet-encyclopedie voor en door kinderen. "https://wikikids.nl/index.php?title=Absolute_waarde&oldid=577462"