Ongelijkheid (wiskunde)

Uit Wikikids
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Ongelijkheden van de eerste graad

De ongelijkheden zijn in de wiskunde van minstens even groot belang als de vergelijkingen. In plaats van een isteken ( = ) worden hier de tekens > (groter dan) of < (kleiner dan) gebruikt, al dan niet in combinatie met een isteken: ≤ (kleiner dan of gelijk aan) en ≥ (groter dan of gelijk aan). Door van < de k van kleiner te maken ( |< ) onthoud je dit teken en dus de andere gemakkelijk.

Voorbeeld:

3 < 5  

dan is (logischerwijs)

5 > 3

Eigenlijk hebben we 3 en 5 met -1 vermenigvuldigd. Dan verandert blijkbaar < in > :

-3 > -5.

Vervolgens hebben we -5 overgebracht naar links en -3 naar rechts. Dan verandert (net zoals bij de vergelijkingen) het - teken voor 5 en 3.

5 > 3

Dus:
Als we links en rechts met een negatief getal vermenigvuldigen (of er door delen) verandert het ongelijkteken.
Als we iets van links naar rechts of omgekeerd verplaatsen, verandert – in + en + in -.

We kunnen ook ongelijkheden "oplossen", dat wil zeggen een waarde voor x vinden, bijvoorbeeld:

2x + 3 >  x – 1
2x – x > -1 – 3
x > - 4
3x – 1 <  x + 2
2x < 3
x < 1½ 

Omdat we in dit geval slechts één oplossing voor x vinden, heten dergelijke ongelijkheden: ongelijkheden van de eerste graad.

Ongelijkheden van de tweede graad

Wanneer we voor x twee oplossingen vinden, dan hebben we te maken met een ongelijkheid van de tweede graad. Voorbeeld:

x2 - 7x + 12 < 0.

Eerst ontbinden we het linkerlid (dat is alles wat links van het < teken staat) in twee factoren:

(x – 3)(x – 4) < 0

Nu is het product van twee factoren negatief, als een daarvan negatief is. (x -4) is kleiner dan (x-3), dus

x - 4 < 0
x - 3 > 0
x < 4 én x > 3

We schrijven dit korter:

3 < x < 4

en zeggen: x ligt tussen 3 en 4.

Controleren we dit door in x2 - 7x + 12 < 0 een getal te nemen dat niet tussen 3 en 4 ligt, bijvoorbeeld 5, dan vinden we 2 als uitkomst, wat dus niet negatief is. Nemen we daarentegen voor x 3½, dan krijgen we – ¼ als resultaat, en dat is wél negatief.

Je kunt ook een eenvoudig tekeningetje maken. Het product is negatief, als de factoren verschillend teken hebben:

           3           4
-----------|-----------|------------        
           ------------------------>    x - 3 > 0, dan is x > 3 
<-----------------------                x - 4 < 0, dan is x < 4 

<-----------                            x - 3 < 0, dan is x < 3
                       ------------>    x - 4 > 0, dan is x > 4

We vinden de oplossing waar de pijltjes elkaar overlappen, dus tussen 3 en 4.

Nog-een voorbeeld:

x2 - 7x + 12 > 0.
(x – 3)(x – 4) > 0

We maken weer een tekeningetje. Het product is positief, als beide factoren hetzelfde teken hebben:

           3           4        
-----------|-----------|------------        
           ------------------------>    x - 3 > 0, dan is x > 3 
                       ------------>    x - 4 > 0, dan is x > 4 

<-----------                            x - 3 < 0, dan is x < 3
<----------------------                 x - 4 < 0, dan is x < 4

Nu overlappen de pijltjes elkaar links van 3 en rechts van 4. Oplossing dus: x < 3 en x > 4.

N.B. Als de opgave geluid had:

x2 - 7x + 12 ≥ 0

dan was de oplossing:

x ≤ 3 en x ≥ 4.

We kunnen dit ook anders oplossen. Als voorbeeld nemen we bovenstaande x2 - 7x + 12 waaraan we de nulwaarden 3 en 4 ontlenen. Nulwaarden zijn getallen die een vorm (meestal spreken we van functie) als x2 - 7x + 12 0 maken als we ze invullen. Eerst tekenen we een horizontale getallenlijn waarop 0 links ligt en waarop we het punt 3 aangeven.

    neg.  3     pos.                         
----------|-------------                        
 
         x - 3                         

Dan geldt: x – 3 is negatief als x < 3 en positief als x > 3. Anders gezegd: als x de waarde 3 passeert, verandert x – 3 van teken. Is x < 3, dan zeggen we: x ligt links van 3.

     pos.  3    neg.   4    pos. 
-----------|-----------|------------     
    
        (x -3)(x – 4)

We kijken nu voor welke waarden van x het product (x – 3)(x – 4) positief of negatief is, als we x alle mogelijke waarden laten doorlopen. Daarbij beginnen we met waarden van x, die kleiner zijn dan 3, en laten x toenemen (Op de getallenlijn tekenen we alleen de getallen 3 en 4). We hebben dan drie gevallen:

1. x < 3. In dat geval is x – 3 negatief en x – 4 ook, dus is (x – 3)(x – 4) positief.
2. 3 < x < 4. Dan is x – 3 positief en x – 4 negatief, dus ( x – 3)(x – 4) is negatief.
3. x > 4. Dan zijn x – 3 en x – 4 allebei positief, dus hun product ook.

Telkens als x een nulwaarde passeert, verandert de functie van teken. Het is dus voldoende, als we het teken van de functie voor één waarde van x (geen nulwaarde) kennen.

Ten slotte nog twee voorbeelden. Los op:

x3 - 4x > 0.

Oplossing. We schrijven deze ongelijkheid als

x (x + 2)(x – 2) > 0. 

De nulwaarden zijn -2, 0 en 2:

   neg.  -2     pos.    0     neg.   2     pos.
----------|-------------|------------|-------------

Is x < -2, dan is elke van de drie factoren negatief, dus hun product ook. Bij het passeren van elk nulpunt verandert de vorm van teken. In het interval tussen -2 en 0 is deze dus positief, tussen 0 en 2 negatief enzovoorts. De gezochte waarden van x zijn dus -2 < x < 0 en x > 2.

Los op:

10 - 3x - x2
------------ > 0
x2 – x  - 12

Ontbind teller en noemer in factoren:

(2 – x)(x + 5)
-------------- > 0
(x + 3)(x – 4)

Het quotiënt van twee getallen heeft hetzelfde teken als hun product, dus

(2 – x)(x + 5)(x + 3)(x – 4) > 0  

De nulwaarden zijn -5, -3, 2 en 4:

   neg.  -5     pos.   -3     neg.   2     pos.    4    neg.
----------|-------------|------------|-------------|------------

Is x < -5, dan zijn drie van de vier factoren negatief, dus is hun product negatief. In het interval tussen -5 en -3 is het dan positief, in het daarop volgende weer negatief, enzovoorts. De oplossing luidt dus -5 < x < -3 en 2 < x < 4. Had er ≥ achter de opgave gestaan in plaats van >, dan was het antwoord -5 ≤ x < -3 en 2 ≤ x < 4 geweest.

Opmerking: als twee nulpunten samenvallen bij factoren met een even exponent, zoals in

(x + 2)(x - 1)2 x(x - 3) < 0

dan zijn de intervallen aan beide zijden van dat nulpunt gelijk:

   neg.  -2     pos.    0     neg.   1     neg.    3    pos.
----------|-------------|------------|-------------|-------------

De oplossing is in dit geval dus x < -2 en 0 < x < 3.

Afkomstig van Wikikids , de interactieve Nederlandstalige Internet-encyclopedie voor en door kinderen. "https://wikikids.nl/index.php?title=Ongelijkheid_(wiskunde)&oldid=573914"