Ongelijkheid (wiskunde)
Ongelijkheden van de eerste graad
De ongelijkheden zijn in de wiskunde van minstens even groot belang als de vergelijkingen. In plaats van een isteken ( = ) worden hier de tekens > (groter dan) of < (kleiner dan) gebruikt, al dan niet in combinatie met een isteken: ≤ (kleiner dan of gelijk aan) en ≥ (groter dan of gelijk aan). Door van < de k van kleiner te maken ( |< ) onthoud je dit teken en dus de andere gemakkelijk.
Voorbeeld:
3 < 5
dan is (logischerwijs)
5 > 3
Eigenlijk hebben we 3 en 5 met -1 vermenigvuldigd. Dan verandert blijkbaar < in > :
-3 > -5.
Vervolgens hebben we -5 overgebracht naar links en -3 naar rechts. Dan verandert (net zoals bij de vergelijkingen) het - teken voor 5 en 3.
5 > 3
Dus:
Als we links en rechts met een negatief getal vermenigvuldigen (of er door delen) verandert het ongelijkteken.
Als we iets van links naar rechts of omgekeerd verplaatsen, verandert – in + en + in -.
We kunnen ook ongelijkheden "oplossen", dat wil zeggen een waarde voor x vinden, bijvoorbeeld:
2x + 3 > x – 1 2x – x > -1 – 3 x > - 4
3x – 1 < x + 2 2x < 3 x < 1½
Omdat we in dit geval slechts één oplossing voor x vinden, heten dergelijke ongelijkheden: ongelijkheden van de eerste graad.
Ongelijkheden van de tweede graad
Wanneer we voor x twee oplossingen vinden, dan hebben we te maken met een ongelijkheid van de tweede graad. Voorbeeld:
x2 - 7x + 12 < 0.
Eerst ontbinden we het linkerlid (dat is alles wat links van het < teken staat) in twee factoren:
(x – 3)(x – 4) < 0
Nu is het product van twee factoren negatief, als een daarvan negatief is. (x -4) is kleiner dan (x-3), dus
x - 4 < 0 x - 3 > 0 x < 4 én x > 3
We schrijven dit korter:
3 < x < 4
en zeggen: x ligt tussen 3 en 4.
Controleren we dit door in x2 - 7x + 12 < 0 een getal te nemen dat niet tussen 3 en 4 ligt, bijvoorbeeld 5, dan vinden we 2 als uitkomst, wat dus niet negatief is. Nemen we daarentegen voor x 3½, dan krijgen we – ¼ als resultaat, en dat is wél negatief.
Je kunt ook een eenvoudig tekeningetje maken. Het product is negatief, als de factoren verschillend teken hebben:
3 4
-----------|-----------|------------
------------------------> x - 3 > 0, dan is x > 3
<----------------------- x - 4 < 0, dan is x < 4
<----------- x - 3 < 0, dan is x < 3
------------> x - 4 > 0, dan is x > 4
We vinden de oplossing waar de pijltjes elkaar overlappen, dus tussen 3 en 4.
Nog-een voorbeeld:
x2 - 7x + 12 > 0. (x – 3)(x – 4) > 0
We maken weer een tekeningetje. Het product is positief, als beide factoren hetzelfde teken hebben:
3 4
-----------|-----------|------------
------------------------> x - 3 > 0, dan is x > 3
------------> x - 4 > 0, dan is x > 4
<----------- x - 3 < 0, dan is x < 3
<---------------------- x - 4 < 0, dan is x < 4
Nu overlappen de pijltjes elkaar links van 3 en rechts van 4. Oplossing dus: x < 3 en x > 4.
N.B. Als de opgave geluid had:
x2 - 7x + 12 ≥ 0
dan was de oplossing:
x ≤ 3 en x ≥ 4.
We kunnen dit ook anders oplossen. Als voorbeeld nemen we bovenstaande x2 - 7x + 12 waaraan we de nulwaarden 3 en 4 ontlenen. Nulwaarden zijn getallen die een vorm (meestal spreken we van functie) als x2 - 7x + 12 0 maken als we ze invullen. Eerst tekenen we een horizontale getallenlijn waarop 0 links ligt en waarop we het punt 3 aangeven.
neg. 3 pos.
----------|-------------
x - 3
Dan geldt: x – 3 is negatief als x < 3 en positief als x > 3. Anders gezegd: als x de waarde 3 passeert, verandert x – 3 van teken. Is x < 3, dan zeggen we: x ligt links van 3.
pos. 3 neg. 4 pos.
-----------|-----------|------------
(x -3)(x – 4)
We kijken nu voor welke waarden van x het product (x – 3)(x – 4) positief of negatief is, als we x alle mogelijke waarden laten doorlopen. Daarbij beginnen we met waarden van x, die kleiner zijn dan 3, en laten x toenemen (Op de getallenlijn tekenen we alleen de getallen 3 en 4). We hebben dan drie gevallen:
1. x < 3. In dat geval is x – 3 negatief en x – 4 ook, dus is (x – 3)(x – 4) positief.
2. 3 < x < 4. Dan is x – 3 positief en x – 4 negatief, dus ( x – 3)(x – 4) is negatief.
3. x > 4. Dan zijn x – 3 en x – 4 allebei positief, dus hun product ook.
Telkens als x een nulwaarde passeert, verandert de functie van teken. Het is dus voldoende, als we het teken van de functie voor één waarde van x (geen nulwaarde) kennen.
Ten slotte nog twee voorbeelden. Los op:
x3 - 4x > 0.
Oplossing. We schrijven deze ongelijkheid als
x (x + 2)(x – 2) > 0.
De nulwaarden zijn -2, 0 en 2:
neg. -2 pos. 0 neg. 2 pos. ----------|-------------|------------|-------------
Is x < -2, dan is elke van de drie factoren negatief, dus hun product ook. Bij het passeren van elk nulpunt verandert de vorm van teken. In het interval tussen -2 en 0 is deze dus positief, tussen 0 en 2 negatief enzovoorts. De gezochte waarden van x zijn dus -2 < x < 0 en x > 2.
Los op:
10 - 3x - x2 ------------ > 0 x2 – x - 12
Ontbind teller en noemer in factoren:
(2 – x)(x + 5) -------------- > 0 (x + 3)(x – 4)
Het quotiënt van twee getallen heeft hetzelfde teken als hun product, dus
(2 – x)(x + 5)(x + 3)(x – 4) > 0
De nulwaarden zijn -5, -3, 2 en 4:
neg. -5 pos. -3 neg. 2 pos. 4 neg. ----------|-------------|------------|-------------|------------
Is x < -5, dan zijn drie van de vier factoren negatief, dus is hun product negatief. In het interval tussen -5 en -3 is het dan positief, in het daarop volgende weer negatief, enzovoorts. De oplossing luidt dus -5 < x < -3 en 2 < x < 4. Had er ≥ achter de opgave gestaan in plaats van >, dan was het antwoord -5 ≤ x < -3 en 2 ≤ x < 4 geweest.
Opmerking: als twee nulpunten samenvallen bij factoren met een even exponent, zoals in
(x + 2)(x - 1)2 x(x - 3) < 0
dan zijn de intervallen aan beide zijden van dat nulpunt gelijk:
neg. -2 pos. 0 neg. 1 neg. 3 pos. ----------|-------------|------------|-------------|-------------
De oplossing is in dit geval dus x < -2 en 0 < x < 3.