Logaritme

In 2³ = 8 (willekeurig voorbeeld) heeft 3 twee namen:
1. ten opzichte van het grondtal 2, daarvan is het de exponent;
2. ten opzichte van de macht 8, daarvan is het de logaritme.

We kunnen ook zeggen: voor het grondtal 2 is de log van 8 gelijk aan 3, en schrijven ²log8 = 3 met het grondtal linksboven het woordje "log" of log₂8 = 3 met het grondtal rechtsonder het woordje log. Deze laatste notatie zullen we hieronder niet gebruiken.

Algemeen: in a^b = c is b de logaritme van c voor het grondstal a.

We schrijven ^alog b = c, want a^c = b. en veronderstellen a ongelijk 1 en a en b > 0. Zo is:

3log9 = 2, want 32 = 9.
10log10 = 1, want 101 = 10.

Of met oneigenlijke machten, d.w.z. dat de exponenten negatief, 0 of gebroken zijn.

5log1 = 0, want 50 = 1.
2log1/4 = -2, want 2−2 = 1/4.
2log√2 = 2log21/2 = 1/2.
1/2log2 = -1 want (2−1)−1 = 2.
√2log23/4 = 1½, want ½ x 1½ = ¾. 
Algemeen: amlog amn = n.

De vraag is dus steeds:
tot welke macht moet men a^m verheffen om a^mn te krijgen? of
waarmee moet men m vermenigvuldigen om mn te krijgen?
Dat is n.

Eigenschappen

Omdat logaritmen niets anders zijn dan exponenten, moeten de eigenschappen van de machten, mits we voor "exponenten" overal "logaritmen" lezen, letterlijk doorgaan.

a^p x a^q = a ^{p + q}.
De exponent van de eerste factor + de exponent van de tweede factor = de exponent van het product. Dus nu: de log van de eerste factor + de log van de tweede factor = de log van het product, bijvoorbeeld 16 x 64 = 1024. Voor 2 als grondtal is log 16 = 4 en log 64 = 6, terwijl log 1024 = 10. Algemeen: log pq = log p + log q.

Op dezelfde wijze wordt aangetoond dat

log p : q = log p - log q
log pq = q log p
log q√p

= 1/q log p.

Voorbeelden:

log 2 = 0,30 en log 3 = 0,48. Hoeveel is log 6? En hoeveel log 5? (grondtal = 10).

Oplossing:

log 6 = log 2 x 3 = log 2 + log 3 = 0,30 + 0,48 = 0,78. 
log 5 = log 10/2 = log 10 – log 2 = 1 – 0,30 = 0,70.

Bereken:

2log(x + 7) = 2log(x – 2) + 2

Oplossing:

2log(x + 7) - 2log(x – 2) = 2.

Dus:

     x + 7                 x + 7
2log ----- = 2        22 = ------ = 4       
     x – 2                 x - 2

4x – 8 = x + 7  3x = 15   x = 15/3 = 5. 
         

Bewijs dat

         log b
alog b = ------ 
         log a .

Oplossing:

alog b = x
ax = b
log ax = log b
x log a = log b
    log b
x = ----- 
    log a.

Bewijs, dat

alog b x blog c = alog c.

Oplossing:

log b   loc c   log c
----- x ----- = ----- = alog c.
log a   log b   log a      

Hieronder een voorbeeld van een vermenigvuldiging met behulp van de logaritmetafel. Bereken:

3,241 x 231,8.

Berekening:

x = 3,241 x 231,8
log x = log (3,241 x 231,8)
log x = log 3,241 + log 231,8
log 3,241 = 0,51068 
log 231,8 = 2,36511 
            ------- +
log x =     2,87579
x = 751,3 (afgerond)    

Zo wordt dus simpelweg vermenigvuldigen gereduceerd tot optellen, delen tot aftrekken, machtsverheffen tot vermenigvuldigen en worteltrekken tot delen! En dat is ook eeuwenlang gedaan in beroepen waarin veel gerekend moest worden zoals in de boekhouding, het verzekeringswezen, maar ook in allerlei technische vakken. Dat gebeurde met behulp van tabellen, de zogeheten logaritmetafels. Die gingen uit van het grondtal 10, want dat rekende makkelijker. De logaritmetafels zijn inmiddels vervangen door rekenmachines en spreadsheets, maar logaritmische algoritmen (= manier van rekenen) worden nog steeds toegepast zoals in de hedendaagse computertechniek.