Rij (wiskunde)

Een rij is in de wiskunde, en met name in de algebra, een samenhangende reeks opeenvolgende getallen, die volgens een bepaald voorschrift wordt gevormd.

De getallen worden de termen (of elementen) van de rij genoemd en aangeduid met t₁, t₂, t₃ enzovoort. De algemene term is t_n, waarbij n staat voor het rangnummer in de rij (dus de hoeveelste term het is).

De rekenkundige rij

De bekende reeks natuurlijke getallen: 1, 2, 3, 4 ….. enzovoort is zo'n rij. Elk volgend getal in die rij, elke volgende term dus, wordt gevormd door bij de vorige term 1 op te tellen. Een dergelijke rij heet een rekenkundige rij en het getal dat je moet optellen heet het verschil. Hier is het dus 1. Andere voorbeelden:

3, 5, 7, 9 . . .   (verschil = 2) 
10, 20, 30, 40 . . (verschil = 10) 
1, 0, -1, -2 . . . (verschil = -1) 
2, 1½, 1, ½ . . .  (verschil = - ½ )

Stel dat we een rekenkundige rij van n termen hebben. Noemen we de eerste term t₁ = a, het verschil v en de laatste term t_n, dan hebben we:

t1 = a  
t2 = a + v 
t3 = a + 2v 
t4 = a + 3v 
. . . . 
tn = a + (n – 1)v 

Zo is de achtste term van de reeks 3, 5, 7, 9 = t₈ = 3 + (8 - 1) 2 = 17.

We kunnen de termen ook optellen: De formule voor de som van n termen, S_n, vinden we als volgt:

Sn = a + (a + v) + (a + 2v) . . . . . .  + (tn – v) + tn
Sn = tn + (tn – v) + (tn – 2v) . . . .    + (a + v)  + a
-------------------------------------------------------- + 
2Sn = (a + tn) + (a + tn) + . . . . + (a + tn)
= n (a + tn)  dus  Sn = ½ n (a + tn).

Zo is de som van alle getallen van 1 t.e.m. 100: ½ (100)(1 + 100) = 50 x 101 = 5050.

De meetkundige rij

Een rij van de vorm

a, ar, ar2, ar3, ar4 . . . . .  

heet een meetkundige rij. Elke volgende term wordt gevonden door de vorige met een zeker getal te vermenigvuldigen, de reden (afgekort tot r) genaamd. Voorbeelden:

2, 4, 8, 16 . . .    a = 2, r = 2
4, 2, 1, ½ . . .     a = 4, r = ½
1, -2, 4, -8 . . .   a = 1, r = -2
1, √2, 2 . . .       a = 1, r = √2

De algemene term om de laatste of een willekeurige term van de rij te vinden is

tn = arn - 1.

Zo is de vijfde term van de rij 2, 4, 8, 16 … 2 x 2^{5 – 1} = 32.

Is t_n+1 > t_n, dan heet de rij stijgend; is t_n+1 < t_n, dan heet de rij dalend.

Is r < 0, dan zijn de termen afwisselend positief en negatief. Alternerend heet dat.

Is r = 1, dan zijn alle termen van de rij gelijk. We veronderstellen dus, dat r ongelijk aan 1 is.

De som van n termen vinden we als volgt:

Sn = a + ar + ar2 + . . .  + arn-1  
rSn =    ar + ar2 + . . .  + arn-1 + arn
-------------------------------------- -
Sn – rSn = a                      - arn

dus

(1 – r)Sn = a(1 – rn)

waaruit

       1 – rn       rn - 1
Sn = a ------  =  a ------ .
       1 – r        r - 1