Vergelijking (wiskunde)

Vergelijkingen van de eerste graad

Een vergelijking is in de wiskunde, en met name in de algebra, het berekenen van onbekende grootheden (ook wel variabelen genoemd), die meestal aangeduid worden met "x" (en y en z als het er meer zijn). Voorbeeld van een vergelijking met één onbekende:

7x + 12 = 4x + 18
7x – 4x = 18 – 12
3x = 6
 x = 2

Alles met x (7x en 4x) komt links van het isteken ( = ) te staan, en de getallen (18 en 12) gaan naar rechts. Merk op, dat bij die verplaatsing van rechts naar links en omgekeerd het teken van 4x en van 12 verandert. In dit geval wordt het negatief (er staat dan een minteken voor). Het is niet zo moeilijk te zien hoe dat komt. We trekken namelijk links én rechts van het isteken dezelfde x en hetzelfde getal af. De waarde van de vergelijking verandert dan niet:

  7x + 12 = 4x + 18
  4x + 12 = 4x + 12 
- -----------------
  3x      =       6

Nog een voorbeeld, waarbij de x niet positief of een geheel getal is:

3x – 8 =  5x + 1
3x – 5x = 1 + 8
-2x =  9
  x = -4½ 

Voorbeeld van een stelsel vergelijkingen met twee onbekenden:

 2x + 9y = 31
 3x – 4y = -6

We vermenigvuldigen nu de eerste vergelijking met 3 en de tweede met 2, zodat we in beide vergelijkingen 6x krijgen:

6x + 27y =  93
6x –  8y = -12

Nu de onderste vergelijking van de bovenste aftrekken:

35y = 105, dus y = 3. 

Dit ingevuld in de tweede vergelijking geeft

3x – 12 = -6
3x = 6
 x = 2

De oplossing van dit stelsel was dus x = 2 en y = 3.

In het voorgaande had x (en/of y) steeds één waarde. Daarom heten dergelijke vergelijkingen: vergelijkingen van de eerste graad.

Vergelijkingen van de tweede graad

Wanneer x twee waarden kan hebben is er sprake van een vergelijking van de tweede graad. Een dergelijke vergelijking heet een vierkantsvergelijking (vierkant is een ander woord voor kwadraat).

Voorbeeld:

x2 - 5x = 0 

We kunnen x buiten haakjes halen, dus

x (x – 5) = 0 

Een product van twee factoren is nul, als één of beide nul zijn, dus x = 0 of (x – 5) = 0; we schrijven:

x1 = 0 en x2 = 5

Een ander voorbeeld. Los x op uit:

x2 – 7x + 12 = 0

Om deze vorm in twee factoren te kunnen ontbinden, zoeken we twee getallen, waarvan de som -7 is en het product 12. Dat zijn - 3 en -4, want

       x – 3
       x - 4 
   x  ------
       x2 - 3x
          - 4x + 12
   +  ------------- 
       x2 - 7x + 12

Dus is

x2 – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4)
(x – 3)(x – 4) = 0
x1 = 3 en x2 = 4

Je kunt ook de oplossing vinden met kwadraatafsplitsing:

x2 – 7x + 12 = 0

x2 – 7x + (7/2)2 – 49/4 + 12 = 0

(x – 7/2)2  – 12 1/4 + 12 = 0

(x – 7/2)2  =  1/4 

x – 7/2 = ± √ 1/4 = ± ½ 

x = ½ + 7/2 = 8/2 = 4 of 7/2 – ½ = 6/2 = 3.

Je kunt ten slotte ook de oplossing vinden met behulp van de zogeheten ABC-formule. De algemene vorm van een vierkantsvergelijking is

ax2 + bx + c = 0 waarin a, b en c gegeven getallen zijn.

De formule (waarvan we de afleiding hier buiten beschouwing laten) luidt:

       -b ± √(b2 - 4ac)
x 1,2 = ---------------
             2a

Door de voor a, b en c gegeven getallen in te vullen en de wortel te trekken krijgen we de gewenste oplossing. In ons geval is a = 1, b = -7 en c = 12.

In ax² + bx + c = 0 is de som van de wortels (zo worden de oplossingen van een vergelijking wel genoemd) - b/a en het product van de wortels c/a.

De vorm onder het wortelteken in de formule (b² - 4ac dus) heet de discriminant. Is die kleiner dan nul, dan heeft de vergelijking geen oplossing. Is deze gelijk aan nul, dan zijn er twee gelijke wortels en is de discriminant groter dan nul, dan zijn er twee verschillende wortels.

Bij de oplossing van vraagstukken over vierkantsvergelijkingen wordt van deze eigenschappen veelvuldig gebruikgemaakt.

Ten slotte nog een voorbeeld van een stelsel vergelijkingen van de 2de graad met twee onbekenden:

x + y = 1
xy = - 6

Oplossing:

x = 1 - y
(1 - y)y = - 6
y - y2 = - 6
y2 - y - 6 = 0
(y - 3)(y + 2) = 0
y1 = 3 y2 = - 2

Dit ingevuld in

x + y = 1 dan is
x + 3 = 1 dus x1 = 1 - 3 = - 2
x - 2 = 1 dus x2 = 1 + 2 = 3.