Exponentiële groei
Exponentiële groei betekent dat iets heel snel groeit. Het woord exponentieel komt van het woord exponent. De exponent is het aantal keer dat iets is gegroeid. Bij exponentiële groei is het exponent de tijd. Bijvoorbeeld 1 uur, 1 dag of 1 week. Elke exponentiële groei heeft een groeifactor en een beginwaarde. De formule voor exponentiële groei is N = b x gt. N staat voor hoeveelheid. b staat voor beginwaarde. De g staat voor groeifactor en de t staat voor de tijd. De letter t staat schuin boven de g. Dat betekent dat de t in deze formule een herhaalde vermenigvuldiging is. Dat is een vorm van machtsverheffen.
Voorbeeld 1
Je spreekt met iemand af dat die je elke dag het dubbele geldbedrag geeft van wat hij de dag ervoor heeft gegeven. Op dag 0 geeft hij jou 1 euro. De volgende dag (dag 1) geeft hij jou het dubbele (twee keer zoveel). Dus 2 euro. De dag daarna geeft hij jou daarvan weer het dubbele (2x2): vier euro. En de dag daarna weer het dubbele (4x2 euro): 8 euro. Het exponent zijn dus het aantal dagen. In de tabel zie je dat je begint op dag 0. Het bedrag wordt elke dag twee keer zoveel. Twee noem je de groeifactor. Je begon met 1 euro. Dat is de beginwaarde. Als je deze getallen in de formule N = b x gt zet dan krijg je N = 1x2t.
| dag (t) | Bedrag (N) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 4 | 8 |
| 5 | 16 |
| 6 | 32 |
| 7 | 64 |
| 8 | 128 |
| 9 | 256 |
| 10 | 512 |
Voorbeeld 2
Er is een virus dat besmettelijk is. Elke dag steekt iemand 3 andere mensen aan. Hoeveel dagen duurt het voordat er 1000 mensen ziek zijn? De formule is N = b x gt. Laten we zeggen dat het aantal zieken op dag nul 1 persoon is. De groeifactor (g) is 3. Hij steekt elke dag drie andere mensen aan. De exponent (t) zijn het aantal dagen. Op dag 0 is het aantal mensen dat ziek (N) is 1 x 30. Tot de macht 0 is de afspraak dat dat altijd 1 is. Dus dan krijg je 1 x 1. Is dus 1. Maar op dag 1 zijn het aantal zieke mensen 1x 31. En dat is dus 1 x 3. Drie mensen ziek dus. Op dag twee zijn er 1 x 32 ziek. Oftewel 1 x 3 x 3. Dat maakt 9. Je zou ook kunnen zeggen dat al die drie mensen ook weer drie nieuwe mensen hebben ziek gemaakt. Dat zijn dus al 9 zieken. En als die negen zieke mensen ook weer 3 mensen ziek maken dan zijn er op dag drie al 27 mensen ziek (1 x 3 x 3 x 3). Enzovoort. Zie de tabel hieronder hoeveel mensen er in dit geval ziek zijn op dag 10.
| dag (t) | Zieken (N) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 9 |
| 3 | 27 |
| 4 | 81 |
| 5 | 243 |
| 6 | 729 |
| 7 | 2187 |
| 8 | 6561 |
| 9 | 19683 |
| 10 | 59049 |